Николай Зверев родился в 1921 году в Акмолинской области. Служил в 32-м гвардейском стрелковом полку 12-й гвардейской стрелковой дивизии помощником командира стрелкового взвода. Сражался на Белорусском фронте.
В конце сентября 1943 года дивизия вела напряженные бои за плацдарм на Днепре. Одним из первых на его правый берег переправился молодой коммунист сержант Зверев. Первым он вскочил в немецкую траншею и вместе со взводом выбил гитлеровцев из нее. В коротком, но яростном бою помкомвзвода гранатами, пулей и прикладом уничтожил более пятнадцати вражеских солдат и офицеров. Вскоре гитлеровцы оправились и перешли в контратаку. Контратака, как и все последующие попытки сбросить взвод Зверева в Днепр, оказалась напрасной: гвардейцы стояли непоколебимо.
30 сентября, отражая очередную немецкую контратаку, Зверев был ранен, но не ушел с поля боя, истребив, уже будучи раненным, еще пять оккупантов.
Плацдарм вблизи украинского города Любеча был удержан. 12-я гвардейская, а затем и другие дивизии армии и фронта приступили к изгнанию немецко-фашистских захватчиков из Белоруссии. В рядах освободителей шел на запад и наш земляк — гвардии сержант Николай Александрович Зверев.
Родина высоко оценила доблесть своего верного сына. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 января 1944 года Н. А. Звереву присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».