Александр Анфиногенович Бурнашев родился в 1914 году в городе Зыряновске Восточно-Казахстанской области. С 14-летнего возраста начал работать в колхозе, а затем электромонтажником в Зыряновском рудоуправлении. С января 1936 по октябрь 1938 года служил в армии. Участник боев с японскими захватчиками на озере Хасан. После демобилизации вернулся в Зыряновск, работал забойщиком.
17 декабря 1941 года А. А. Бурнашев призван в армию. Окончил полковую школу. С 9 июня 1942 года на фронте. В составе 457-го стрелкового полка 129-й стрелковой Орловской дивизии воевал на Западном, Брянском и 2-м Белорусском Фронтах командиром орудия. 25 сентября 1944 года А. А. Бурнашеву присвоено звание Героя Советского Союза.
В июне 1944 года начались ожесточенные бои на Бобруйском направлении. На западный берег реки Березины в районе деревни Шатково переправилась часть, в которой служил старший сержант Бурнашев.
Перегруппировав силы и получив подкрепление, противник перешел в контратаку с целью сбросить наши войска с плацдарма и овладеть переправой. Трижды атаковали немцы, но, встретив упорное сопротивление и понеся большие потери, вынуждены были отступить. Стрелковый полк вместе с артиллеристами уничтожил до батальона гитлеровцев. Вскоре при поддержке двух десятков танков и самоходных орудий немцы снова предприняли атаку. Фашистские машины устремились на позицию батареи.
— Вон их сколько! — проговорил кто-то из орудийного расчета Бурнашева.
—Огонь! — как бы в ответ прозвучала команда. Снаряды ложились точно. Вот, завертевшись на месте, охваченная пламенем взорвалась первая самоходка, горит вторая. Старший сержант приказал перенести огонь по бронетранспортерам. Через полчаса на поле боя застыло пять вражеских машин. И вновь атака захлебнулась.
Но положение оставалось напряженным. Ряды пехоты таяли. Прямым попаданием враг разбил соседнее орудие. Были тяжело ранены наводчик и заряжающий в расчете Бурнашева. А немцы вновь пошли в атаку. Вот уже танки врага прошли окопы стрелков. Вступили в бой истребители танков со связками гранат. Бурнашев, став за наводчика, продолжал вести огонь. Подбиты еще две самоходки, бронетранспортер, уничтожены десятки гитлеровцев, но враг наседает. Разорвавшийся вблизи снаряд вывел из строя остальных бойцов расчета. Старший сержант, оставшись один, ведет огонь по врагу. Разбит еще один бронетранспортер, две автомашины. Вдруг рядом с орудием взметнулась земля. Чем-то тяжелым ударило по бедру. Бурнашев упал на станину и потерял сознание. Его подобрали и отправили в госпиталь бойцы перешедшего в наступление соседнего полка. За этот бой А. А. Бурнашев был удостоен звания Героя Советского Союза.
Ранение было тяжелым. Почти год А. А. Бурнашев пролежал в госпитале. После демобилизации вернулся в Зыря-новск, стал работать в Бухтарминском рудоуправлении треста «Алтайзолото». В 1950 году перешел на Зыряновский свинцовый комбинат.
Александр Анфиногенович Бурнашев был делегатом III съезда Компартии Казахстана, неоднократно избирался депутатом Зыряновского городского и Восточно-Казахстанского областного Советов депутатов трудящихся. В 1957 году награжден медалью «За трудовую доблесть».