Альжаппар Абишев родился в 1907 году в Каркаралинском районе Карагандинской области. Трудовую деятельность начал восемнадцатилетним юношей. Был учителем ликбеза, работал шахтером. В 1934 году стал журналистом: сотрудничал в редакции Карагандинской областной газеты, заведовал отделом газеты «Лениншил жас», был ответственным секретарем и заместителем редактора журнала «Адебиет жане искусство». Член КПСС.
Писатель А. Абишев пришел литературу в 1935 году после Первого съезда советских писателей. С тех пор он плодотворно работает в жанрах прозы и драматургии. Первый сборник рассказов «Завал», роман «Счастливые», пьесы «За Родину», «Друзья», «Товарищи», написанные до войны, принесли известность молодому писателю.
А. Абишев — участник Первой всесоюзной конференции молодых писателей.
В последующие годы А. Абишев выпустил пять сборников рассказов и очерков, повести «Саржан», «Глубокие корни» и роман «Молодое поколение», дважды издававшийся на русском языке. В 1957 году был издан двухтомник избранных произведений писателя. В 1969 году вышел роман А. Абишева «Гроза».
А. Абишев на протяжении многих лет активно работает в области драматургии. За это время им написано около тридцати пьес. Многоактные пьесы «Дружба и любовь», «Единая семья», «Товарищи», «Зависть», «Кто мой отец?», «Мечтатель», «Сана», «Счастья людям», «Сакен» прочно вошли в репертуар театров республики, а пьеса «Зависть» поставлена в театрах Киргизии, Башкирии, Татарии и Монгольской народной республики.
А. Абишев активно участвует в общественной жизни. С 1939 1954 год он был членом президиума правления Союза писат. лей Казахстана, с тех пор беспрерывно является членом правления СПК.
За заслуги в развитии советской литературы писатель А. Абишев награжден орденом Трудового Красного Знамени и двумя орденами «Знак Почета».