А. С. Квитков родился в 1922 году в село Же-лезинка Урлютюбского района Павлодарской области в семье рабочего. Русский, член КПСС. После окончания средней школы работал в Каймана-чихинском совхозе, а затем в Урлютюбском райкоме партии. В марте 1941 года был призван на действительную службу. Сотни километров фронтовых дорог пройдено командиром отделения 5-й стрелковой роты 218-го гвардейского стрелкового полка 77-й гвардейской стрелковой дивизии гвардии старшим сержантом Александром Квитковым.
После войны остался в рядах Советской Армии. Закончив военное училище, а затем Военно-политическую академию им. В. И. Ленина, офицер Квитков передает свои знания и боевой опыт молодым воинам Советских Вооруженных Сил.
Первой своей наградой — медалью «За отвагу» — Квитков награжден за смелость и мужество, проявленные им во время разведки сил противника у украинского села Киреев-ка. Здесь гитлеровцы сосредоточили значительные силы, основательно укрепились: вырыли траншеи, построили дзоты, разместили склады боеприпасов и продовольствия. Огневые точки врага держали под обстрелом подступы к Ки-реевке.
Бойцы, возглавляемые Квитковым, скрытно ночью подобрались к линии вражеской обороны, нанесли на карту все огневые точки противника, разведали подступы к селу и возвратились в часть. Точные данные разведчиков помогли нашим артиллеристам подавить огневые точки гитлеровцев, сломить их оборону.
… Преследуя отступающего противника, части 77-й гвардейской стрелковой дивизии подошли к Чернигову. На окраинах города завязались упорные бои. Отделению Квиткова в числе первых удалось прорваться в город, но вскоре с чердака одного из домов на них обрушился град пуль. Несколько бойцов было убито. Вражеский пулеметный расчет был неуязвим. Тогда старший сержант Квитков с двумя бойцами скрытно пробрался к дому, влез на крышу и увидел пулемет. Бойцы бросили несколько гранат, и пулемет умолк. Два фашиста были убиты, остальные в панике бежали. Улица была освобождена. А. С. Квитков получил вторую награду — орден Красной Звезды.
Взяв Чернигов, дивизия вышла к Днепру. В ночь с 26 на 27 сентября 1943 года командир отделения Квитков в первой десантной лодке под непрерывным вражеским огнем начал переправу. Недалеко от берега, занятого фашистами, от разорвавшегося снаряда лодка была опрокинута. По горло в холодной воде, неся над головой оружие, Квитков и его боевые друзья двинулись к берегу. Преодолев огненную завесу, они вступили на землю.
Учитывая свою малочисленность, бойцы, часто меняя огневые позиции, открыли шквальный огонь по врагу. У гитлеровцев, видимо, сложилось представление о численном превосходстве советских воинов. Враг начал отходить. Преследуя его, Квитков первым ворвался в траншею и в рукопашной схватке уничтожал фашистов, сея среди них смятение и ужас. Но враг скоро понял свою ошибку и попытался ьернуть утраченные позиции. Отделение трижды отражало его контратаки. А. С. Квитков и его друзья-смельчаки обеспечили переправу подразделений полка.
За подвиг, совершенный при форсировании Днепра, А. С. Квитков 15 января 1944 года удостоен высшей правительственной награды — звания Героя Советского Союза.