Андрей Николаевич родился в 1898 году в селе Качиры Максимо-Горьковского района Павлодарской области в семье крестьянина. Русский, член КПСС. Участник гражданской войны. Б 1929 году одним из первых вступил в колхоз. В предвоенный год его избирают заместителем председателя колхоза. В Красную Армию призван 29 сентября 1941 года.
Погиб в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками 4 ноября 1944 года.
Славный боевой путь прошел командир отделения роты автоматчиков 611-го стрелкового Минского полка 88-й стрелковой Витебской Краснознаменной ордена Суворова дивизии старший сержант Андрей Николаевич Елгин.
В суровых ноябрьских боях 1943 года, которые вели части дивизии, коммунист Елгин постоянно проявлял стойкость и отвагу, был примером для бойцов. В одной из схваток с врагом он первым ворвался в траншею неприятеля и уничтожил 8 гитлеровцев. Елгин постоянно совершенствовал свое боевое мастерство. Когда после боев наступало короткое затишье, шел к снайперам и учился у них мастерству сверхметкого огня. Став снайпером, он истребил 37 гитлеровцев.
Как стойкому и бесстрашному в боях воину, командование доверило старшему сержанту А. Н. Елгину святыню воинской чести — боевое знамя полка.
22 октября 1944 года части 88-й стрелковой дивизии овладели городом Голдап в Восточной Пруссии. 11 дней и ночей шли упорные бои с превосходящими силами противника. Старший сержант Елгин стоял у знамени, верный своему долгу, воинской присяге.
3 ноября гитлеровцы предприняли попытку овладеть городом. С этой целью они бросили большое количество танков, самоходных орудий, пехоты при поддержке двух бронепоездов с десантом автоматчиков. Немцам удалось отрезать выход из города нашим воинам. Более суток сражались советские солдаты в осажденном городе. 4 ноября, ночью, штабом полка был получен приказ пробиваться из окружения. Старший сержант Елгин, опоясав себя полотнищем знамени, вместе с группой бойцов стал пробиваться сквозь огненное кольцо фашистских захватчиков.
В непроглядную ночь, лесом и болотами, преодолевая сильные вражеские заслоны, продвигалась группа смельчаков к своим. Вдруг на пути оказался пулемет немцев, слева — озеро. Отважный знаменосец решил атаковать пулемет врага и с криком «Ура!» бросился на гитлеровцев. Вскоре пулеметный расчет был уничтожен, но и Андрей Николаевич тяжело ранен. Несмотря на ранение, он не забыл о полковом боевом знамени. Истекая кровью, Елгин продолжал ползком продвигаться к позиции своих бойцов. Они уже были близко.
Осветив ракетами небольшой холмик, гитлеровцы заметили на его вершине советского воина. Группа немецких солдат решила взять его в плен. Теряя силы, раненый воин-коммунист вступил в неравный бой и снова вышел победителем — все фашисты были уничтожены Елгиным, но сам он получил второе, на этот раз смертельное ранение. Полковое знамя обагрилось кровью героя. Оно было спасено ценою жизни бесстрашного советского воина.
Боевые соратники А. Н. Елгина пронесли это знамя через Восточную Пруссию до берегов Балтики. Гордо реяло оно как символ победы нашего народа на берегах Балтийского моря.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 20 марта 1945 года Андрею Николаевичу Елгину посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.