Рауф Кутуев родился в 1925 году в семье служащих в Куйбышеве. Татарин. В 1930 году с родителями переехал в Актюбинск. Окончил 7 классов школы № 2. В начале 1942 года поступил учеником слесаря на завод.
В январе 1943 года Актюбинским горвоенкоматом призван в армию. Находясь на фронте, вступил в ряды комсомола. Звание Героя Советского Союза присвоено 24 марта 1945 года.
Когда Ибрагим Идиатуллович уходил в сентябре 1941 года на фронт, Рауфу было 16 лет. На прощание отец просил сына помогать матери и младшей сестре. Рауф кивнул головой в знак согласия, но потом сказал: «На фронт пойду, фашистов бить буду».— «Может, обойдемся без вас»,— заметил отец. Но обойтись не удалось. В одном из боев погиб Ку-туев-отец, а в начале 1943 года призвали в армию Рауфа. В том же году в августе Рауф прибыл на фронт, участвовал в освобождении Запорожья, воевал на Изюмском направлении. В роте заметили аккуратного и смелого молодого воина. В конце ноября 1943 года рядового Кутуева направили на краткосрочные курсы командного состава.
15 мая 1944 года отличнику боевой и политической подготовки Р. И. Кутуеву было присвоено звание младшего лейтенанта. И снова фронт. Он принял под свое командование взвод пехотинцев. 18-летний офицер был не по возрасту требовательным, задания командования выполнял четко и грамотно.
Солдаты полюбили своего командира. Те, что были постарше, оберегали его в боях. 20 сентября 1944 года Кутуев получил ранение в обе ноги. Солдаты вынесли его с поля боя. К счастью, раны оказались не опасными, и Кутуев упросил командира роты оставить его во взводе.
5 декабря 1944 года под покровом темноты взвод младшего лейтенанта Кутуева совместно с другими подразделениями начал форсирование Дуная. Вряд ли можно было в то время Дунай назвать голубым: его мутная глинистая вода мало соответствовала этому художественному определению.
Переправлялись в лодках, на плотах, понтонах и вплавь. Под ураганным огнем. Едва высадившись на правый берег, взвод Кутуева завязал бой с фашистами. Забросав окопы гранатами, солдаты пошли врукопашную. Взводу удалось прорвать оборону противника и первым ворваться в деревню Каземхалод. Когда пулеметный расчет вышел из строя, Рауф бросился к пулемету. Прикрывая наступление взвода, он сразил десятки немецких солдат. Кутуев был ранен, но не покидал поле боя. Немцы четыре раза переходили в контратаки, но всякий раз, получая мощный огневой отпор, откатывались. Во время последней контратаки младший лейтенант был убит. Слух о гибели командира распространился с молниеносной быстротой. Солдаты с возгласами «Отомстим за командира!» бросились вперед. Под их неудержимым натиском немцы бежали. Захваченный рубеж был закреплен, что обеспечило расширение плацдарма на правом берегу Дуная.
99-я стрелковая Житомирская Краснознаменная дивизия продолжала наступление.